Question

已知函數(shù)．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)如果關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值集合；

(Ⅲ)是否存在正數(shù)k，使得關(guān)于x的方程f(x)＝kg(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？如果存在，求k滿(mǎn)足的條件；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域是 　　對(duì)　2分 　　由 　　因此　5分 　　(Ⅱ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1043/0022/05aec52e4fa29ef837adec60a9300c33/C/Image161.gif" width=325 height=41> 　　所以實(shí)數(shù)m的取值范圍就是函數(shù)的值域　6分 　　對(duì) 　　 　　又當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)，lnx無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于0， 　　進(jìn)而有無(wú)限趨近于 　　因此函數(shù) 　　即實(shí)數(shù)m的取值范圍是　9分 　　(Ⅲ)結(jié)論：這樣的正數(shù)k不存在　10分 　　下面采用反證法來(lái)證明：假設(shè)存在正數(shù)k，使得關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根　11分 　　根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域知都是正數(shù) 　　又由(Ⅰ)可知，當(dāng)x＞0時(shí)， 　　 　　再由k＞0，可得 　　由(1)和(2)可得 　　利用比例性質(zhì)得 　　即(*)　13分 　　由于lnx是區(qū)間上的恒正增函數(shù)，且 　　又由于是區(qū)間上的恒正減函數(shù)，且 　　 　　 　　這與(*)式矛盾．因此滿(mǎn)足條件的正數(shù)k不存在．　14分