Question

已知定義域為R的函數f（x）對任意實數x、y滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且．給出下列結論：；②f（x）為奇函數；③f（x）為周期函數；④f（x）在（0，x）內單調遞減．其中正確的結論序號是（ ）
A．②③
B．②④
C．①③
D．①④

Answer 1

【答案】分析：令x=y=可求出f（）的值，得知①不對排除CD．由x=可知f（x）在（0，x）內單不是調遞減排除B．
解答：解：令x=y=，根據f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy，且．
∴∴故①不對
∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy
令x=0，則
f（y）+f（-y）=f（0）cosy=0
f（-y）=-f（y）
所以f（x）是奇函數   故②對．
令x=，由f（0）=0，f（）=1知④不對
故選A．
點評：本題主要考查抽象函數的有關問題．抽象函數值、單調性、周期性、奇偶性經常是考查重點．