Question

已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足，常數(shù)為方程的實(shí)數(shù)根．

⑴若函數(shù)的定義域?yàn)镮，對(duì)任意，存在，使等式

=成立，求證：方程不存在異于的實(shí)數(shù)根；

⑵求證：當(dāng)時(shí)，總有成立；

⑶對(duì)任意，若滿足，求證．

Answer 1

證明：⑴用反證法，

設(shè)方程有異于的實(shí)根，即，不妨設(shè)，則

，在與之間必存在一點(diǎn)c，，

由題意使等式成立，   

因?yàn)?sub>，所以必有，但這與矛盾．

因此，如若也是方程的根，則必有，即方程不存在異于的實(shí)數(shù)根．

⑵令，

，

為增函數(shù)．

又當(dāng)時(shí)，，即

⑶不妨設(shè)，為增函數(shù)，即

又函數(shù)為減函數(shù)．

即

即

∴．