Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上的橢圓的左、右焦點分別為，右準(zhǔn)線與軸的交點為，.

（1）已知點在橢圓上，求實數(shù)的值；

（2）已知定點．

① 若橢圓上存在點，使得，求橢圓的離心率的取值范圍；

② 如圖，當(dāng)時，記為橢圓上的動點，直線分別與橢圓交于另一點，若且，求證：為定值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）見解析

【解析】

（1）由橢圓的準(zhǔn)線方程列式求解；

（2）①設(shè)點T（x，y）由，得（x+2）2+y2=2[（x+1）2+y2]，即x2+y2=2．得出關(guān)于m的關(guān)系式求得離心率范圍；

②設(shè)M（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2）由=λ，=μ的關(guān)系列式求解．

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，

所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入點，

解得（舍負(fù)）.（先求標(biāo)準(zhǔn)方程也可）

（2）①點坐標(biāo)為，設(shè)點坐標(biāo)為，由，

得，化簡，得，

與橢圓方程聯(lián)立，得，而，則

解得，離心率，

（也可以從長半軸短半軸與圓的半徑關(guān)系求的范圍）

所以，橢圓的離心率的取值范圍為.

②設(shè)點的坐標(biāo)分別為，則

，由得

，則，

代入，整理得

，而，則

，而由題意，顯然，

則，所以；

同理，由得，，

所以，.