Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．設(shè)c_n=a_n+b_n，S_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．求

lim

n→∞

Sn

Sn-1

．

Answer 1

分析：先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分別求出a_n和b_n，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，分別求得S_n和S_n-1的表達(dá)式，進(jìn)而可得

Sn

Sn-1

的表達(dá)式，分p＞1和p＜1對其進(jìn)行求極限．

解答：解：Sn=

a1(pn-1)

p-1

+

b1(qn-1)

q-1

，

Sn

Sn-1

=

a1(q-1)(pn-1)+b1(p-1)(qn-1)

a1(q-1)(pn-1-1)+b1(p-1)(qn-1-1)

．
分兩種情況討論．（Ⅰ）p＞1．
∵p＞q＞0，0＜

q

p

＜1，

lim

n→∞

Sn

Sn-1

=

lim

n→∞

pn[a1(q-1)(1- 1 pn )+b1(p-1)( qn pn - 1 pn )]

pn-1[a1(q-1)(1- 1 pn-1 )+b1(p-1)( qn-1 pn-1 - 1 pn-1 )]

=p•

lim

n→∞

a1(q-1)(1- 1 pn )+b1(p-1)[( q p )n- 1 pn ]

a1(q-1)(1- 1 pn-1 )+b1(p-1)[( q p )n-1- 1 pn-1 ]

=p•

a1(q-1)

a1(q-1)

=p．
（Ⅱ）p＜1．
∵0＜q＜p＜1，

lim

n→∞

Sn

Sn-1

=

lim

n→∞

a1(q-1)(pn-1)+b1(p-1)(qn-1)

a1(q-1)(pn-1-1)+b1(p-1)(qn-1-1)

=

-a1(q-1)-b1(p-1)

-a1(q-1)-b1(p-1)

=1

點(diǎn)評：本小題主要考查等比數(shù)列的概念、數(shù)列極限的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力．