Question

已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓過點(diǎn)

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線與該橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，滿足直線的斜率依次成等比數(shù)列，

求面積的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) ；（2）.

【解析】

試題分析：(1)先設(shè)出橢圓方程為，再根據(jù)條件離心率為及橢圓上的點(diǎn)，代入即可得到橢圓方程；（2）先設(shè)出直線方程及，然后聯(lián)立橢圓方程得到及.再由直線的斜率依次成等比數(shù)列得到，由得到.代入中及直線的斜率存在得到，且，然后由點(diǎn)到直線的距離公式及兩點(diǎn)間距離公式得到面積.最后由基本不等式得到，從而得到面積的取值范圍.

試題解析：(1) 由題意可設(shè)橢圓方程為，則（其中，），且，故.

所以橢圓的方程為.

(2)由題意可知，直線的斜率存在且不為0.故可設(shè)直線：，

設(shè)，

由，消去得，

則，

且，

故，

因?yàn)橹本�的斜率依次成等比數(shù)列，

所以，即.

又，所以，即.

由于直線的斜率存在，且，得，且，

設(shè)為點(diǎn)到直線的距離，則，

，

所以，

故面積的取值范圍為.

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3.點(diǎn)到直線的距離公式；4.基本不等式.