Question

給出下列四個(gè)命題：
（1）函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=logaax（a＞0且a≠1）的定義域相同；
（2）函數(shù)y=x³與y=3^x的值域相同；
（3）函數(shù)f(x)=

5+4x-x2

的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，2]；
（4）函數(shù)y=

1

2

+

1

2x-1

與y=lg(x+

x2+1

)都是奇函數(shù)．
其中正確命題的序號(hào)是

（1）（4）

（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)y=a^x與函數(shù)y=log_aa^x的定義域都為R，
（2）函數(shù)y=x³的值域?yàn)镽，而y=3^x＞0，
（3）根據(jù)根式函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)y=5+4x-x²≥0?x∈[-1，5]，在此區(qū)間上進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性的判斷；
（4）令f（x）=y=

1

2

+

1

2x-1

=

2x+1

2(2x-1)

，g（x）=y=lg(x+

x2+1

)，，檢驗(yàn)f（-x）與f（x），g（-x）與g（x）的關(guān)系可檢驗(yàn)函數(shù)的奇偶性．

解答：解：（1）函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定義域都為R，故正確；
（2）函數(shù)y=x³的值域?yàn)镽，而y=3^x＞0，則值域不相同，故錯(cuò)誤；
（3）根據(jù)根式函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)y=5+4x-x²≥0?x∈[-1，5]，在此區(qū)間上，函數(shù)f(x)=

5+4x-x2

的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1，2]；故錯(cuò)；
（4）這兩個(gè)函數(shù)的定義域都為R，且：
∵f（x）=y=

1

2

+

1

2x-1

=

2x+1

2(2x-1)

∴f(-x)=

2-x+1

2(2-x-1)

=

1+2x

2(1-2x)

=-f（x），
而g（x）=y=lg(x+

x2+1

)，g（-x）=y=lg(-x+

(-x)2+1

)=y=-lg(x+

x2+1

)=-g（x），故都是奇函數(shù)；故（4）正確；
故答案為：（1）（4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的定義域 與值域的求解，函數(shù)的奇偶性的判定，二次函數(shù)與根式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判定，屬于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用．