Question

如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個(gè)長方形構(gòu)成．已知隧道總寬度AD為6

3

m，行車道總寬度BC為2

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m，側(cè)墻EA、FD高為2m，弧頂高M(jìn)N為5m．
（1）建立直角坐標(biāo)系，求圓弧所在的圓的方程；
（2）為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m．請計(jì)算車輛通過隧道的限制高度是多少．

Answer 1

分析：（1）以EF所在直線為x軸，以MN所在直線為y軸，以1m為單位長度建立直角坐標(biāo)系．設(shè)圓的方程為（x-0）²+（y-b）²=r²，通過F，M在圓上，求出變量的值，得到圓的方程．
（2）設(shè)限高為h，作CP⊥AD，交圓弧于點(diǎn)P，則|CP|=h+0.5，將P的橫坐標(biāo)x=

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代入圓的方程，求出y，然后求出限高．

解答：解：（1）以EF所在直線為x軸，以MN所在直線為y軸，
以1m為單位長度建立直角坐標(biāo)系．
則E（-3

3

，0），F(xiàn)（3

3

，0），M（0，3），
由于所求圓的圓心在y軸上，所以設(shè)圓的方程為（x-0）²+（y-b）²=r²，
因?yàn)镕，M在圓上，所以

(3 3 )2+b2=r2 02+(3-b)2=r2

，
解得b=-3，r²=36．
所以圓的方程為x²+（y+3）²=36．
（2）設(shè)限高為h，作CP⊥AD，交圓弧于點(diǎn)P，則|CP|=h+0.5，
將P的橫坐標(biāo)x=

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代入圓的方程，
得(

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)2+(y+3)2=36，
得y=2或y=-8（舍），
所以h=|CP|-0.5=（y+|DF|）-0.5=（2+2）-0.5=3.5（m）．
答：車輛通過隧道的限制高度是3.5米．

點(diǎn)評：本題考查圓的方程的求法以及圓的方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．