Question

已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）對(duì)任意x，y∈（0，+∞），都有f(

x

y

)=f(x)-f(y)，且當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若f（2）=-1，解不等式f（x²-9）＞f（x）-3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（Ⅱ）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)0＜x₁＜x₂，結(jié)合f（

x

y

）=f（x）-f（y）即可判斷f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）結(jié)合（Ⅱ），利用函數(shù)的單調(diào)性脫去“f”解關(guān)于x的不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）令x=y=1，則f（1）=f（1）-f（1）=0；
（Ⅱ）設(shè)0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
∵當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＜0，
∴f（

x2

x1

）=f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)；
（Ⅲ）∵f（2）=-1，
∴f（4）=f（

4

2

）+f（2）=2f（2）=-2，
f（8）=f（

8

2

）+f（2）=-2+f（2）=-3，
∴f（x²-9）＞f（x）-3?f（x²-9）＞f（x）+f（8）=f（

x

8

），
∴f（

x2-9

8

）＞f（x），
∵f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)，
∴0＜

x2-9

8

＜x，
解得3＜x＜9．
∴不等式f（x²-9）＞f（x）-3的解集為：{x|3＜x＜9}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查賦值法，突出考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查解不等式的能力，屬于中檔題．