Question

（本題滿分12分）

如圖，橢圓長軸端點(diǎn)為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點(diǎn)，

且,.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）記橢圓的上頂點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，問：是否存在直線，使點(diǎn)恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）； （2）3x-3y-4=0

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓方程為,則

又∵即 ，∴  

故橢圓方程為

（2）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且恰為的垂心，則

設(shè)，∵，故，

于是設(shè)直線為 ，由得

    

∵又

得 即

 由韋達(dá)定理得

 

解得或（舍） 經(jīng)檢驗(yàn)符合條件

考點(diǎn)：本題考查了橢圓方程求法及直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：橢圓的概念和性質(zhì)，仍將是今后命題的熱點(diǎn)，利用直線、弦長、圓錐曲線三者的關(guān)系組成的各類試題是解析幾何中長盛不衰的主題，其中求解與相交弦有關(guān)的綜合題仍是今后命題的重點(diǎn)；與其它知識(shí)的交匯(如向量、不等式)命題將是今后高考命題的一個(gè)新的重點(diǎn)、熱點(diǎn)