Question

已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)到F₂的最近距離為2，且離心率為

1

3

．
（1）橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A（-1，2），若P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）若E是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求

EF1

•

EF2

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意得到關(guān)于a，c的方程組，求出a，c后利用b²=a²-c²求出b則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式用M的坐標(biāo)表示P的坐標(biāo)，代入橢圓方程后即可得到M的軌跡方程；
（3）設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程得到E點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，寫出向量

EF1

和

EF2

的坐標(biāo)，直接代入數(shù)量積后可求范圍．

解答：解：（1）由條件知

a-c=2 c a = 1 3

，解得c=1，a=3．
則b²=a²-c²=8．
所以橢圓C：

x2

9

+

y2

8

=1；
（2）設(shè)M（x，y），因?yàn)镸為PA的中點(diǎn)，所以P（2x+1，2y-2）．
又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以

(2x+1)2

9

+

(2y-2)2

8

=1即為所求點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）設(shè)E（x₀，y₀），則有

x02

9

+

y02

8

=1．
因?yàn)镕₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
所以

EF1

•

EF2

=(-1-x0，-y0)•(1-x0，-y0)
=x02+y02-1=x02+8(1-

x02

9

)-1=

1

9

x02+7．
因?yàn)辄c(diǎn)E在橢圓上，所以0≤x02≤9．
所以

1

9

x02+7∈[7，8]．
所以當(dāng)x02=0時(shí)，所求最小值為7，當(dāng)x02=9時(shí)，所求最大值為8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了代入法求曲線方程，考查數(shù)量積公式，屬中檔題．