Question

【題目】各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）若恒成立，求k的取值范圍；

（3）是否存在正整數(shù)m，k，使得am，am+5，ak成等比數(shù)列？若存在，求出m和k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)an=2n-1；(2)；(3)存在m=1，k=61滿足題意.

【解析】試題分析：

(1)由題中的遞推關(guān)系結(jié)合題意可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為；

(2)首先裂項(xiàng)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后結(jié)合恒成立的條件可得k的取值范圍是；

(3)由題中的結(jié)論討論可得存在m=1，k=61滿足題意.

試題解析：

（1）∵，∴，

兩式相減得，

整理得（an+an-1）（an-an-1-2）=0，

∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴an-an-1=2，n≥2，

∴{an}是公差為2的等差數(shù)列，

又得a1=1，∴an=2n-1．

（2）由題意得，

∵，

∴=，

∴．

（3）∵an=2n-1．

假設(shè)存在正整數(shù)m，k，使得am，am+5，ak成等比數(shù)列，即

即（2m+9）2=（2m-1）（2k-1），

∵（2m-1）≠0，∴，

∵2k-1∈Z，∴2m-1為100的約數(shù)，

∴2m-1=1，m=1，k=61．