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        1. 設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2ax-ln(1+x)+1.
          (1)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程是x-y+b=0,求實(shí)數(shù)a,b的值;
          (2)當(dāng)a=
          1
          2
          時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (3)若方程f(x)=x2+(2a-
          1
          2
          )x+
          1
          2
          (a+1)在[0,2]上有兩個(gè)不等實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
          分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),利用函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程是x-y+b=0,進(jìn)口求實(shí)數(shù)a,b的值;
          (2)求導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)大于0,小于0,可確定函數(shù)的單調(diào)性;
          (3)方程f(x)=x2+(2a-
          1
          2
          )x+
          1
          2
          (a+1)在[0,2]上有兩個(gè)不等實(shí)根,等價(jià)于x-2ln(1+x)-a+1=0在[0,2]上有兩個(gè)不等實(shí)根,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.
          解答:解:(1)∵f′(x)=2x+2a-
          1
          1+x
          ,f′(0)=1
          ∴2a-1=1,∴a=1
          ∵f(0)=1,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程是x-y+b=0,
          ∴b=1,
          故a=1,b=1.
          (2)當(dāng)a=
          1
          2
          時(shí),f(x)=x2+x-ln(1+x)+1,定義域?yàn)椋?1,+∞)
          求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=
          x(2x+3)
          x+1

          f′(x)=
          x(2x+3)
          x+1
          ≥0
          x>-1,可得x≥0,令f′(x)=
          x(2x+3)
          x+1
          ≤0
          ,x>-1,可得-1<x≤0,
          ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[0,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(-1,0]
          (3)方程f(x)=x2+(2a-
          1
          2
          )x+
          1
          2
          (a+1)在[0,2]上有兩個(gè)不等實(shí)根,
          等價(jià)于x-2ln(1+x)-a+1=0在[0,2]上有兩個(gè)不等實(shí)根
          設(shè)g(x)=x-2ln(1+x)-a+1=0,x∈[0,2],則g′(x)=1-
          2
          1+x
          =
          x-1
          x+1

          令g′(x)>0,x>-1可得x>1,令g′(x)<0,x>-1,可得-1<x<1,
          ∴函數(shù)f(x)在[0,1)上單調(diào)減;在(1,2]上單調(diào)增區(qū)間
          g(0)≥0
          g(1)<0
          g(2)≥0
          ,∴
          -a+1≥0
          1-2ln2-a+1<0
          2-2ln3-a+1≥0

          ∴2-2ln2<a<3-2ln2
          ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2-2ln2,3-2ln2).
          點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)與方程的聯(lián)系,屬于中檔題
          練習(xí)冊系列答案
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          設(shè)函數(shù)f(x)=x2+|x-2|-1,x∈R.
          (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
          (2)求函數(shù)f(x)的最小值.

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          設(shè)函數(shù)f(x)=x2-ax+a+3,g(x)=ax-2a.若存在x0∈R,使得f(x0)<0與g(x0)<0同時(shí)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
           

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          設(shè)函數(shù)f(x)=x2+aln(x+1),a∈R.(注:(ln(x+1))′=
          1x+1
          ).
          (1)討論f(x)的單調(diào)性.
          (2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2,求f(x2)的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
          (1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線為y=x,求實(shí)數(shù)m的值;
          (2)當(dāng)m=2時(shí),若方程f(x)-h(x)=0在[1,3]上恰好有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)是否存在實(shí)數(shù)m,使函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x+aln(x+1),其中a≠0.
          (1)若a=-6,求f(x)在[0,3]上的最值;
          (2)若f(x)在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)求證:不等式ln
          n+1
          n
          n-1
          n3
          (n∈N*)恒成立.

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          同步練習(xí)冊答案