Question

如圖，P是正四面體V-ABC的面VBC上一點，點P到平面ABC距離與到點V的距離相等，則動點P的軌跡是（ ）

A．直線
B．拋物線
C．離心率為的橢圓
D．離心率為3的雙曲線

Answer 1

【答案】分析：由題設條件將點P到平面ABC距離與到點V的距離相等轉(zhuǎn)化成在面VBC中點P到V的距離與到定直線BC的距離比是一個常數(shù)，依據(jù)圓錐曲線的第二定義判斷出其軌跡的形狀．
解答：解：∵正四面體V-ABC∴面VBC不垂直面ABC，過P作PD⊥面ABC于D，過D作DH⊥BC于H，連接PH，
可得BC⊥面DPH，所以BC⊥PH，故∠PHD為二面角V-BC-A的平面角令其為θ
則Rt△PGH中，|PD|：|PH|=sinθ（θ為V-BC-A的二面角的大�。�．
又點P到平面ABC距離與到點V的距離相等，即|PV|=|PD|
∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC中，點P到定點V的距離與定直線BC的距離之比是一個常數(shù)sinθ，
又在正四面體V-ABC，V-BC-A的二面角的大小θ有：sinθ=＜1，
由橢圓定義知P點軌跡為橢圓在面SBC內(nèi)的一部分．
故選C．
點評：考查二面角、橢圓的定義、軌跡方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．