Question

已知在()ⁿ的展開式中，第6項為常數(shù)項.

(1)求n；

(2)求含x²的項的系數(shù)；

(3)求展開式中所有的有理項.

Answer 1

解析：(1)通項公式為T_r+1=.

∵第6項為常數(shù)項,

∴r=5時有=0,即n=10.

(2)令=2,得r=(n-6)=2,

∴所求的系數(shù)為 (-3)²=405.

(3)根據(jù)通項公式，由題意得

令=k(k∈Z),

則10-2r=3k,即r=5-k.

∵r∈Z,∴k應(yīng)為偶數(shù).

∴k可取2，0，-2,即r可取2,5,8.

∴第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為(-3)²x²,(-3)⁵,·(-3)⁸x^-2.

小結(jié)：(1)本題是先求二項式的指數(shù)，再求與通項有關(guān)的其他問題.一般地，解此類問題可以分兩步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)〔求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件(n、r均為非負(fù)整數(shù)，n≥r)〕；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項.此外，解本題時，為減少計算中的錯誤，宜把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.

(2)題設(shè)展開式中有常數(shù)項的條件，實際上隱含了未知數(shù)的零次項的存在，所以n-2r=0，因此，由有常數(shù)項的條件可求得n.反之，若已知n，求展開式中常數(shù)項時，可先假設(shè)展開式的第r+1項為常數(shù)項，合并通項公式中同一字母的指數(shù)得f(r),然后令f(r)=0,從中求得r的非負(fù)整數(shù)值，即得所求的項.

(3)所謂求二項展開式中的有理項，一般是根據(jù)通項公式所得到的項，其所有的未知數(shù)的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項.解這類型的問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解.若求二項展開式中的整式項，則其通項公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù).求解方式與求有理項一致.

(4)由本題的第(2)題知，二項式系數(shù)與系數(shù)是兩個不同的概念，本題中x²項的系數(shù)為405，而x²項的二項式系數(shù)為=45，初學(xué)者要能區(qū)別，切不可混淆.