Question

定義：設(shè)P、Q分別為曲線C₁和C₂上的點(diǎn)，把P、Q兩點(diǎn)距離的最小值稱(chēng)為曲線C₁到C₂的距離．
（1）求曲線C：y=x²到直線l：2x-y-4=0的距離；
（2）若曲線C：（x-a）²+y²=1到直線l：y=x-1的距離為3，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）求圓O：x²+y²=1到曲線y=

2x-3

x-2

(x＞2)的距離．

Answer 1

分析：（1）設(shè)曲線C：y=x²的點(diǎn)P（x，x²），利用點(diǎn)到直線的距離公式和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）由點(diǎn)到直線的距離的公式即可得出；
（3）由y=

2x-3

x-2

=2+

1

x-2

(x＞2)，可得曲線y=

2x-3

x-2

(x＞2)是中心在（2，2）的雙曲線的一支．由函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性知，當(dāng)P、Q是直線y=x和圓、雙曲線的交點(diǎn)時(shí)，|PQ|有最小值．解方程組

y= 2x-3 x-2 y=x

即可得到Q，進(jìn)而得到所求距離d=|OQ|-1．

解答：解：（1）設(shè)曲線C：y=x²的點(diǎn)P（x，x²），
則d=

|2x-x2-4|

5

=

(x-1)2+3

5

，
∴當(dāng)x=1時(shí)，d取得最小值

3 5

5

．
曲線C：y=x²到直線l：2x-y-4=0的距離為

3 5

5

．               
（2）由題意，得

|a-1|

2

=4，a=1±4

2

．                    
（3）∵y=

2x-3

x-2

=2+

1

x-2

(x＞2)，
∴曲線y=

2x-3

x-2

(x＞2)是中心在（2，2）的雙曲線的一支．   
由函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性知，當(dāng)P、Q是直線y=x和圓、雙曲線的交點(diǎn)時(shí)，|PQ|有最小值．
此時(shí)，解方程組

y= 2x-3 x-2 y=x

得Q（3，3），
于是|OQ|=3

2

，
∴圓O：x²+y²=1到曲線y=

2x-3

x-2

(x＞2)的距離為3

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩曲線的最小值問(wèn)題、點(diǎn)到直線的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、直線與圓的相切問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．