Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)P為兩動圓（x+2）²+y²=（r+2）²，（x-2）²+y²=r²（r＞1）的一個交點(diǎn)，記動點(diǎn)P的軌跡為C．給出下列三個結(jié)論：
①曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)；
②曲線C關(guān)于x軸對稱；
③設(shè)點(diǎn)P（x，y），則有|y|＜|2x|．
其中，所有正確的結(jié)論序號是

②③

．

Answer 1

分析：根據(jù)P到兩圓圓心的距離之差是定值，根據(jù)雙曲線定義判斷曲線類型，再寫出方程；然后利用方程驗(yàn)證是否過原點(diǎn)，是否關(guān)于x軸對稱，是否滿足|y|＜|2x|即可．

解答：解：設(shè)A（-2，0），B（2，0），動點(diǎn)P（x，y），
根據(jù)題意：|PA|-|PB|=2
∴根據(jù)雙曲線的定義判定，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，
方程式：

x2

1

-

y2

3

=1，（x＞0）
∵（0，0）不是方程的解，∴①不正確；
設(shè)點(diǎn)M（x，y）曲線上的任一點(diǎn)，M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為N（x，-y），
∵N的坐標(biāo)也滿足方程，∴N在曲線上，∴曲線C關(guān)于x軸對稱，②正確；
∵4x²=4（1+

y2

3

）=4+

4

3

y²＞y²，∴|y|＜|2x|．故③正確．
答案是②③

點(diǎn)評：本題借助考查命題的真假判斷，考查雙曲線的定義及定義法求軌跡方程．
定義法求軌跡方程的基本步驟：根據(jù)條件判斷動點(diǎn)軌跡類型--根據(jù)已知曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出特征量--寫出軌跡方程，再證明以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．