Question

（2006•上海模擬）直三棱柱中，AB=AC=1，AA₁=2，∠B₁A₁C₁=90°，BD=DB₁
（1）求證：AD⊥平面A₁DC₁
（2）求異面直線C₁D，A₁C所成角的余弦．

Answer 1

分析：（1）由A₁B₁⊥A₁C₁，知AD⊥A₁C₁，由∠ADB=∠A₁DB₁=45°，知AD⊥A₁D，由此能夠證明AD垂直平面A₁DC₁．
（2）以A₁C₁，A₁B₁，A₁A分別為x，y，z軸建立坐標系．則A₁（0，0，0），C₁（1，0，0），C（1，0，2），D（0，1，1），

C1D

=（-1，1，1），

A1C

=（1，0，2），

C1D

•

A1C

=1．由向量法能夠求出異面直線C₁D，A₁C所成角的余弦．

解答：解：（1）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
AD在平面A₁B₁C₁的投影為A₁B₁，因為A₁B₁⊥A₁C₁，
所以AD⊥A₁C₁，
在矩形ABB₁A₁中，∠ADB=∠A₁DB₁=45°，
所以∠ADA₁=90°，所以AD⊥A₁D，
所以AD垂直平面A₁DC₁．
（2）以A₁C₁，A₁B₁，A₁A分別為x，y，z軸建立坐標系．
則A₁（0，0，0），C₁（1，0，0），C（1，0，2），D（0，1，1）
則

C1D

=（-1，1，1），

A1C

=（1，0，2），

C1D

•

A1C

=1
|

C1D

|=

3

，|

A1C

|=

5

，
設異面直線C₁D，A₁C所成角為α，
cosα=|

1

3 × 5

=

15

15

．

點評：本題考相直線和平面的垂直的證明和兩條異面直線所成角的余弦值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．