Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c同時滿足以下條件：
①f（3-x）=f（x）；②f（1）=0；③對任意實數(shù)x，f（x）≥

1

4a

-

1

2

恒成立．
（1）求y=f（x）的表達(dá)式；
（2）若{a_n}為等比數(shù)列，a₁=f（5），公比q=

c

b

，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，求S_n的最大值；
（3）令T_n=a₁a₂a₃…a_n（n∈N*），試求T_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（3-x）=f（x），可得a=-

b

3

；根據(jù)f（1）=0，知a+b+c=0，又對任意實數(shù)x，f（x）≥

1

4a

-

1

2

恒成立，所以

4ac-b2

4a

=

1

4a

-

1

2

，從而可求y=f（x）的表達(dá)式；  
（2）先確定a₁，q，進(jìn)而由Sn=

36

5

[1-(-

2

3

)n]，從而可求S_n的最大值；
（3）先表示T_n=a₁a₂a₃…a_n=12n×(-

2

3

)1+2+…+(n-1)，∴

Tn

Tn+1

=

1

12

×(-

3

2

)n-1從而由{|Tn|}單調(diào)性，可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（3-x）=f（x），∴a（3-x）²+b（3-x）+c=ax²+bx+c
∴-6a-b=b，∴a=-

b

3

                ①
∵f（1）=0，∴a+b+c=0，∴-

b

3

+b+c=0，∴c=-

2b

3

            ②
∵對任意實數(shù)x，f（x）≥

1

4a

-

1

2

恒成立
∴ax²+bx+c≥

1

4a

-

1

2

，∴

4ac-b2

4a

=

1

4a

-

1

2

      ③
由①②③可得a=1，b=-3，c=2
∴f（x）=x²-3x+2
（2）a₁=12，公比q=

c

b

=-

2

3

∴Sn=

36

5

[1-(-

2

3

)n]，∴S_n的最大值為12；
（3）T_n=a₁a₂a₃…a_n=12n×(-

2

3

)1+2+…+(n-1)，
∴

Tn

Tn+1

=

1

12

×(-

3

2

)n-1
由|

Tn

Tn-1

|≥1得n≤7
由|

Tn

Tn+1

|≥1得n≥7
考慮Tn的正負(fù)，只有n=4k或4k+1（k是正整數(shù)）時T_n＞0
n=4k時，Tn＞0，Tn-1＜0，Tn+1＞0，

Tn

Tn-1

≥1，所以4k≥7，k≥2，n=8，12，16，…
n=4k+1時，Tn＞0，Tn-1＞0，Tn+1＜0，

Tn

Tn-1

≥1，所以4k+1≤7，k＜=1，n=1，5
由{|Tn|}單調(diào)性，接下來只要比較T₈和T₅即可
因為T₈＜T₅，所以T₅最大為

210

243

．

點評：本題以二次函數(shù)為載體，考查函數(shù)的解析式，考查等比數(shù)列的和，考查等比數(shù)列的積，有一定的綜合性．