Question

(2006福建，18)如下圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，．

(1)求證：AO⊥平面BCD；

(2)求異面直線AB與CD所成角的大小；

(3)求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)連結OC． ∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD． ∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD． 在△AOC中，由已知可得AO=1，，而AC=2， ∴， ∴∠AOC=90°，即AO⊥OC． ∵BD∩OC=O， ∴AO⊥平面BCD． (2)取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為BC的中點知ME∥AB，OE∥DC． ∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角． 在△OME中，，， ∵OM是直角△AOC斜邊上的中線， ∴，∴， ∴異面直線AB與CD所成角的大小為． (3)設點E到平面ACD的距離為h． ∵， ∴． 在△ACD中，CA=CD=2，． ∴． 而AO=1，， ∴． ∴點E到平面ACD的距離為．