Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=1，AA₁=1
（1）求直線AD₁與B₁D所成角；
（2）求直線AD₁與平面B₁BDD₁所成角的正弦．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線AD₁與B₁D的方向向量，利用向量的夾角公式，即可求直線AD₁與B₁D所成角；
（2）求出平面B₁BDD₁的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線AD₁與平面B₁BDD₁所成角的正弦．

解答：解：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），D₁（1，0，1），B₁（0，2，1），D（1，0，0）．
∴

AD1

=(1，0，1)，

B1D

=(1，-2，-1)，
∴cos＜

AD1

，

B1D

＞=

1-1

2 • 6

=0，
∴＜

AD1

，

B1D

＞=90°，
∴直線AD₁與B₁D所成角為90°；
（2）設(shè)平面B₁BDD₁的法向量

n

=（x，y，z），則
∵

DD1

=(0，0，1)，

DB

=（-1，2，0），
∴

z=0 -x+2y=0

，
∴可取

n

=（2，1，0），
∴直線AD₁與平面B₁BDD₁所成角的正弦為

2

2 • 5

=

10

5

．

點(diǎn)評：本題考查線線角，考查線面角，考查向量知識的運(yùn)用，正確求向量是關(guān)鍵．