Question

【題目】如圖是正四面體的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，
①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是

Answer 1

【答案】②③④
【解析】解：將正四面體的平面展開圖復(fù)原為正四面體A（B、C）﹣DEF，如圖：
對(duì)于①，G、H分別為DE、BE的中點(diǎn)，則GH∥AD，而AD與EF異面，故GH與EF不平行，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，BD與MN為異面直線，正確（假設(shè)BD與MN共面，則A、D、E、F四點(diǎn)共面，與ADEF為正四面體矛盾，故假設(shè)不成立，故BD與MN異面）；
對(duì)于③，依題意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，故GH與MN成60°角，故③正確；
對(duì)于④，連接GF，A點(diǎn)在平面DEF的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，
而AF∥MN，∴DE與MN垂直，故④正確．
綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③④，
所以答案是：②③④．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解棱錐的結(jié)構(gòu)特征(側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方)．