Question

點P在橢圓上運動，Q、R分別在兩圓（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1上運動，則|PQ|+|PR|的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：橢圓的兩焦點恰為兩圓（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圓心坐標．設橢圓左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，由三角形兩邊之差小于第三邊知：|PQ|最小為|PF₁|-1，最大為|PF₁|+1，同理：|PR|最小為|PF₂|-1，最大為|PF₂|+1，從而可求|PQ|+|PR|的取值范圍．
解答：解：橢圓的兩焦點為（-1，0），（1，0），恰為兩圓（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圓心坐標．
設橢圓左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，由三角形兩邊之差小于第三邊知：|PQ|最小為|PF₁|-1，最大為|PF₁|+1
同理：|PR|最小為|PF₂|-1，最大為|PF₂|+1
∴|PQ|+|PR|的最小為|PF₁|+|PF₂|-2=2×2-2=2，最大為|PF₁|+|PF₂|+2=2×2+2=6
故|PQ|+|PR|的取值范圍為[2，6]
故答案為：[2，6]
點評：本題的考點是圓與圓錐曲線的綜合，考查線段和的取值范圍問題，解題的關鍵是利用橢圓的兩焦點恰為兩圓（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圓心坐標．