Question

已知函數(shù)f（x）滿足：f(1)=

1

4

，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），則f（2010）=

 

．

Answer 1

分析：由于題目問的是f（2010），項(xiàng)數(shù)較大，故馬上判斷函數(shù)勢(shì)必是周期函數(shù)，所以集中精力找周期即可；周期的尋找方法可以是不完全歸納推理出，也可以是演繹推理得出．

解答：解：取x=1，y=0得f(0)=

1

2

法一：根據(jù)已知知f(1)=

1

4

取x=1，y=1得f（2）=-（

1

4

）
取x=2，y=1得f（3）=-（

1

2

）
取x=2，y=2得f（4）=-（

1

4

）
取x=3，y=2得f（5）=-（

7

16

）
取x=3，y=3得f（6）=（

1

2

）
猜想得周期為6
法二：取x=1，y=0得f(0)=

1

2

取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），
同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）
聯(lián)立得f（n+2）=-f（n-1）
所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）
所以函數(shù)是周期函數(shù)，周期T=6，
故f（2010）=f（0）=

1

2

點(diǎn)評(píng)：準(zhǔn)確找出周期是此類問題（項(xiàng)數(shù)很大）的關(guān)鍵，分別可以用歸納法和演繹法得出周期，解題時(shí)根據(jù)自己熟悉的方法得出即可．