Question

已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合．直線l的參數(shù)方程為

x=1+cosα•t y=sinα•t

(t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-10ρcosθ+17=0．
（Ⅰ）若直線l與曲線C有公共點(diǎn)，求α的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)α=

π

6

時(shí)，設(shè)P（1，0），若直線l與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)是A，B，求|PA||PB|的值；并求|AB|的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程化為普通方程，直線l的參數(shù)方程代入圓的方程化簡后記作①，因?yàn)橹本�l與曲線C有公共點(diǎn)，所以得到①中方程的△大于等于0列出關(guān)于cosα的關(guān)系式，求出不等式的解集即可得到cosα的范圍，根據(jù)α為直線l的傾斜角得到α的范圍，利用余弦函數(shù)的圖象及特殊角的三角函數(shù)值即可求出α的范圍；
（Ⅱ）設(shè)出A和B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，由①知當(dāng)α等于

π

6

時(shí)，將①化為關(guān)于t的一元二次方程，利用韋達(dá)定理即可求出|AB|的長和|PA||PB|的值．

解答：解：（Ⅰ）圓的普通方程為x²-10x+y²+17=0，
將直線l的參數(shù)方程代入得：t²-8tcosα+8=0，①．
△=（8cosα）²-32≥0，
∴cos2α≥

1

2

又α為直線l的傾斜角，
∴

2

2

≤cosα≤1或-1＜cosα≤-

2

2

，
所以α∈[0，

π

4

]∪[

3π

4

，π)；
（Ⅱ）設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，由①知當(dāng)α=

π

6

時(shí)，
將①化為t2-4

3

•t+8=0，t1+t2=4

3

，t1t2=8，
|AB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t

2=4，
|PA||PB|=|t₁•t₂|=8．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)將圓的方程化為普通方程，掌握余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理化簡求值，是一道綜合題．