Question

（本小題滿分14分）

一個(gè)幾何體是由圓柱和三棱錐組合而成，點(diǎn)、、在圓的圓周上，其正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積分別為10和12，如圖2所示，其中，，，．

（1）求證：；

（2）求三棱錐的體積．

Answer 1

（本小題滿分14分）

（本小題主要考查錐體體積，空間線線、線面關(guān)系，三視圖等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．）

（1）證明：因?yàn)?sub>，，所以，即．

又因?yàn)?sub>，，所以平面．

因?yàn)?sub>，所以．…………………………………4分

（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)、、在圓的圓周上，且，所以為圓的直徑．

設(shè)圓的半徑為，圓柱高為，根據(jù)正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．………………………………………………8分

以下給出求三棱錐體積的兩種方法：

方法1：由（1）知，平面，

所以．…………………………………………10分

因?yàn)?sub>，，

所以，即．

其中，因?yàn)?sub>，，

所以．…………………………………13分

所以．…………………………………………………14分

方法2：因?yàn)?sub>，

所以．………10分

其中，因?yàn)?sub>，，

所以．…………………………13分

所以．………………………………………14分