Question

函數(shù)f（x）=（x∈R）．
（1）若f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，設(shè)g（x）=e^2x-ae^x，x∈[0，ln2]，求函數(shù)g（x）的最小值；
（3）當(dāng)a=0時(shí)，曲線y=f（x）的切線的斜率的取值范圍記為集合A，曲線y=f（x）上不同兩點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）連線的斜率的取值范圍記為集合B，你認(rèn)為集合A，B之間有怎樣的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）若f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函數(shù)，則利用f'（x）≥0恒成立．
（2）利用換元法，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最小值．
（3）利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，利用條件求出集合A，B，然后利用集合A，B元素關(guān)系判斷集合之間的關(guān)系．
解答：解：（1）因?yàn)閒'（x）=3x²+ax+1，若△=a²-12＜0，即時(shí)，都有f'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)在R上單調(diào)遞增．
若△=0，即a=時(shí)，f'（x）≥0，所以此時(shí)函數(shù)在R上單調(diào)遞增．
若△＞0，顯然不合題意，
綜上若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍[]．
（2）設(shè)t=e^x，則t∈[1，2]，h（t）=t²-at=，
當(dāng)，即時(shí)，h（t）在[1，2]上是增函數(shù)，所以當(dāng)t=1時(shí)，h（t）的最小值為h（1）=1-a，也是最小值．
當(dāng)，即2時(shí)，h（t）的最小值為h（）=12-2．
（3）集合A，B之間的關(guān)系為B是A的真子集．
證明如下：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x³+x+1，f'（x）=3x²+1≥1，故A=[1，+∞）．
設(shè)PQ的斜率為k，則，
若，當(dāng)且僅當(dāng)，即x₁=x₂=0，這與已知x₁≠x₂矛盾，
所以，由此可得k＞1，所以B=（1，+∞），
即B是A的真子集．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．