Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且對任意x∈R都有f′（x）＜

1

2

，則不等式f（x²）＞

x2+1

2

的解集為（　　）

A．（1，2）

B．（0，1）

C．（1，+∞）

D．（-1，1）

Answer 1

分析：所求解的不等式是抽象不等式，是與函數(shù)有關(guān)的不等式，函數(shù)的單調(diào)性和不等關(guān)系最密切．由f′（x）＜

1

2

，構(gòu)造單調(diào)遞減函數(shù)h（x）=f（x）-

1

2

x，利用其單減性求解．

解答：解：∵f′（x）＜

1

2

，
∴f′（x）-

1

2

＜0，
設(shè)h（x）=f（x）-

1

2

x，則h′（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
∴h（x）是R上的減函數(shù)，且h（1）=f（1）-

1

2

=1-

1

2

=

1

2

．
不等式f（x²）＞

x2+1

2

，
即為f（x²）-

1

2

x²＞

1

2

，
即h（x²）＞h（1），
得x²＜1，解得-1＜x＜1，
∴原不等式的解集為（-1，1）．
故選：D．

點評：本題考查抽象不等式求解，關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)已知條件和所要解的不等式，找到合適的函數(shù)作載體是關(guān)鍵．