Question

已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)（-1，1）成中心對(duì)稱．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a_n＞0，a₁=1，，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試判斷S_n與2的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（0）=0，可求b=0．所以．由函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）成中心對(duì)稱，可求a
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225747532510416/SYS201311012257475325104019_DA/2.png">，且a_n＞0，整理可得．從而得到數(shù)列是等差數(shù)列，可求
（3）由n≥2時(shí)，，從而放縮結(jié)合裂項(xiàng)求和即可求
解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
所以f（0）=0，即b=0．所以．
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）成中心對(duì)稱，
所以a=1．所以．
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225747532510416/SYS201311012257475325104019_DA/10.png">，且a_n＞0，
所以，即，即．
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．
所以，所以（n∈N^*）．
（3）當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁=1＜2；
當(dāng)n≥2時(shí)，，
所以．
綜上所述，S_n＜2（n∈N^*）．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)中由函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)解析式為載體，重點(diǎn)考查了利用構(gòu)造特殊數(shù)列（等差、等比）求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，及裂項(xiàng)求和，要注意放縮法在解題中的應(yīng)用．