Question

給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為120°．如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧

AB

上變動(dòng)．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，試求x+y的最大值．

Answer 1

分析：建立坐標(biāo)系，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的坐標(biāo)，化已知問(wèn)題為三角函數(shù)的最值求解，可得答案．

解答：解：由題意，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸的正向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
設(shè)C（cosθ，sinθ），0≤θ≤

2π

3

，…（3分）
可得A（1，0），B（-

1

2

，

3

2

），…（5分）
由

OC

=x

OA

+y

OB

得，x-

1

2

y=cosθ，

3

2

y=sinθ，…（9分）
∴

3

2

y=

3

sinθ，∴x+y=cosθ+

3

sinθ=2sin（θ+

π

6

），…（12分）
∴x+y的最大值是2．   …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量基本定理，建立坐標(biāo)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．