Question

已知四面體P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥面ABC，2AC=

3

AB，若四面體P-ABC的體積為

3

2

，則P、C兩點(diǎn)間的球面距離為

3

2

п

．

Answer 1

分析：由已知四面體P-ABC的外接球的球心O在AB上，可判斷出∠ACB=90°，再由2AC=

3

AB，可計(jì)算出△ABC的面積，再由PO⊥面ABC，及四面體P-ABC的體積為

3

2

，可求出其外接球的半徑，進(jìn)而可求出P、C兩點(diǎn)間的球面距離．

解答：解：由已知四面體P-ABC的外接球的球心O在AB上，
∴線段AB是外接球的直徑，且∠ACB=90°，
由2AC=

3

AB，∴sin∠ABC=

AC

AB

=

3

2

，∴∠ABC=60°，
設(shè)外接球的半徑為R，則AC=

3

R，BC=R，∴S△=

1

2

AC×BC=

3

2

R2．
已知PO⊥面ABC，∴四面體P-ABC的高h(yuǎn)=R．
∵四面體P-ABC的體積為

3

2

，∴

1

3

×

3

2

R2×R=

3

2

，∴R=

3

．
又PO⊥面ABC，弧PC所對的大圓的中心角為

π

2

，
∴P、C兩點(diǎn)間的球面距離為

3

2

π．
故答案為

3

2

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了四面體的體積、外接球及球面距離，其關(guān)鍵是掌握好有關(guān)的計(jì)算公式．