Question

已知函數f （x）=

3

sin xcos x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（1）求函數f （x）的最小值和最小正周期；
（2）若函數g （x）的圖象與函數f （x）的圖象關于y軸對稱，記F （x）=f （x）+g （x），求F （x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數f （x）的解析式為sin（2x-

π

6

）-1，由此求得函數f （x）的最小值和最小正周期．
（2）由題意可得g （x）=f （-x）=-sin（2x+

π

6

）-1，從而得到F （x）═-cos 2x-2，令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，求得x的范圍，即可求得F （x）的單調遞增區(qū)間．

解答：解：（1）f （x）=

3

2

sin 2x-

1

2

cos 2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，（3分）
∴f （x）的最小值為-2，（4分）
f （x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．（5分）
（2）因為函數g （x）的圖象與函數f （x）的圖象關于y軸對稱，
所以g （x）=f （-x）=sin（-2x-

π

6

）-1=-sin（2x+

π

6

）-1，（7分）
∴F （x）=f （x）+g （x）=sin（2x-

π

6

）-1-sin（2x+

π

6

）-1
=

3

2

sin 2x-

1

2

cos 2x-

3

2

sin 2x-

1

2

cos 2x-2=-cos 2x-2，（10分）
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，得kπ≤x≤kπ+

π

2

（12分）
∴F（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ，kπ+

π

2

]，（k∈Z）．（13分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性和求法，三角函數的最值以及單調性，屬于中檔題．