Question

【題目】設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn ， 且a5 ， a3 ， a4成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的公比；
（2）證明：對任意k∈N+ ， Sk+2 ， Sk ， Sk+1成等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè){an}的公比為q（q≠0，q≠1）

∵a5，a3，a4成等差數(shù)列，∴2a3=a5+a4，

∴

∵a1≠0，q≠0，

∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2

∵q≠1，

∴q=﹣2

（2）

證明：對任意k∈N+，Sk+2+Sk+1﹣2Sk=（Sk+2﹣Sk）+（Sk+1﹣Sk）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（﹣2）=0

∴對任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差數(shù)列．

【解析】（1）設(shè){an}的公比為q（q≠0，q≠1），利用a5 ， a3 ， a4成等差數(shù)列結(jié)合通項(xiàng)公式，可得 ，由此即可求得數(shù)列{an}的公比；（2）對任意k∈N+ ， Sk+2+Sk+1﹣2Sk=（Sk+2﹣Sk）+（Sk+1﹣Sk）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（﹣2）=0，從而得證．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）(通項(xiàng)公式：)，還要掌握等差數(shù)列的性質(zhì)(在等差數(shù)列{an}中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．