Question

如圖，在三棱錐V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中點(diǎn)，且AC=BC=VC=  

（1）求證：平面VAB平面VCD；

（2）若線段AB上的一點(diǎn)E, 使得直線VD與平面VCE所成的角的正弦為,試確定E的位置

Answer 1

（1）略（2）點(diǎn)E位于線段AD的中點(diǎn)或線段BD 的中點(diǎn).  

解析:

方法1：（1）∵AC=BC，∴是等腰三角形，

又D是AB的中點(diǎn)，∴，

又底面，∴。于是平面,

又平面，∴平面平面。             …………5分

（2）過點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)作于F，則由題意知平面VCE。連接VF，于是就是直線VD與平面VCE所成的角。           …………7分

在中，；

又VD= ,  ∴                        …………9分

在中可求出DE=1                               ………11分

故知點(diǎn)E位于線段AD的中點(diǎn)或線段BD 的中點(diǎn).             ………12分

方法2：（1）以CA、CB、CV所在的直線分別為x軸、    y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則, , ,

于是 ,  

∴=0,  ∴

又底面, , 于是平面

又平面，∴平面平面

（2）由（1）知 ，

因?yàn)镋點(diǎn)在線段AB上，而AB線上的點(diǎn)都滿足，且z=0.

所以可設(shè),那么

另設(shè)平面VCE的法向量，

由,  ,可求n=0,

又因?yàn)橹本�VD與平面VCE所成的角的正弦為,

所以

解之有x= 或x=

故點(diǎn) 或, 分別為線段BD的中點(diǎn)和線段AD的中點(diǎn)