Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2cos2ωx+ sin2ωx（ω＞0）的最小正周期為π，給出下列四個(gè)命題：
①f（x）的最大值為3；
②將f（x）的圖象向左平移 后所得的函數(shù)是偶函數(shù)；
③f（x）在區(qū)間[﹣ ， ]上單調(diào)遞增；
④f（x）的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱．
其中正確說(shuō)法的序號(hào)是（ ）
A.②③
B.①④
C.①②④
D.①③④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：f（x）=2cos2ωx+ sin2ωx（ω＞0），
=1+cos2ωx+ sin2ωx，
=2sin（2ωx+ ）+1，
f（x）的最小正周期為π，根據(jù)周期公式可知：ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+ ）+1，
由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，f（x）的最大值為3，故①正確；
將f（x）的圖象向左平移 后所得的函數(shù)為f（x）=2sin（2x+ ）+1，不是偶函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，解得：kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，
∴x∈[kπ﹣ ，kπ+ ]，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[﹣ ， ]上單調(diào)遞增，
故③正確；
令2x+ =kπ+ ，解得x= + ，f（x）的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱，故④正確；
故答案選：D．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握?qǐng)D象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象才能正確解答此題．