Question

.（本題滿分12分）

給定橢圓＞＞0，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為．

（1）求橢圓的方程及其“伴隨圓”方程；

（2）若傾斜角為的直線與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與橢圓的“伴隨圓”相交于M、N兩點(diǎn)，求弦MN的長(zhǎng)；

（3）點(diǎn)是橢圓的“伴隨圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使得與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證：。

 

Answer 1

【答案】

 

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052413474878122554/SYS201205241350486562483566_DA.files/image001.png">，所以

所以橢圓的方程為，伴隨圓方程……………2分

（2）設(shè)直線的方程，由得 

由   得  

圓心到直線的距離為所以………………………………………6分

（3）①當(dāng)中有一條無斜率時(shí)，不妨設(shè)無斜率，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052413474878122554/SYS201205241350486562483566_DA.files/image014.png">與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為或，

 當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與伴隨圓交于點(diǎn)

此時(shí)經(jīng)過點(diǎn)（或且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是

(或，即為(或，顯然直線垂直；

同理可證方程為時(shí)，直線垂直……………………7分

②當(dāng)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)其中，

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，

由，消去得到，

即，……………8分

，

經(jīng)過化簡(jiǎn)得到：，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052413474878122554/SYS201205241350486562483566_DA.files/image024.png">，所以有，…………………………10分

設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052413474878122554/SYS201205241350486562483566_DA.files/image013.png">與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以滿足方程，

因而，即垂直.………………………………………………12分

 

【解析】略