Question

橢圓T的中心為坐標原點O，右焦點為F（2，0），且橢圓T過點E（2，

2

）．△ABC的三個頂點都在橢圓T上，設三條邊的中點分別為M，N，P．
（1）求橢圓T的方程；
（2）設△ABC的三條邊所在直線的斜率分別為k₁，k₂，k₃，且k_i≠0，i=1，2，3．若直線OM，ON，OP的斜率之和為0，求證：

1

k1

+

1

k2

+

1

k3

為定值．

Answer 1

（1）設橢圓T的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由題意知：左焦點為F′（-2，0），所以2a=|EF|+|EF′|=

2

+3

2

，
解得a=2

2

，
∵c=2，∴b=

a2-c2

=2．
故橢圓T的方程為

x2

8

+

y2

4

=1…（4分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），M（s₁，t₁），N（s₂，t₂），P（s₃，t₃），
由：x12+2y12=8，x22+2y22=8，兩式相減，得到
（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0
所以k1=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

•

x1+x2

y1+y2

=-

s1

2t1

，即

1

k1

=-

2t1

s1

，…（9分）
同理

1

k2

=-

2t2

s2

，

1

k3

=-

2t3

s3

所以

1

k1

+

1

k2

+

1

k3

=-2(

t1

s1

+

t2

s2

+

t3

s3

)，
又因為直線OM，ON，OP的斜率之和為0，
所以

1

k1

+

1

k2

+

1

k3

=0 …（13分）