Question

（附加題）（Ⅰ）過曲線y=x²（x≥0）上某一點A作一切線l，使之與曲線以及x軸所圍成的圖形的面積為

1

12

，試求：
（1）切點A的坐標(biāo)；
（2）過切點A的切線l的方程；
（3）上述所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．

Answer 1

分析：（1）欲求切點A的坐標(biāo)，設(shè)切點為A（x₀，y₀），只須求出其斜率，再利用導(dǎo)數(shù)求出在切點處的導(dǎo)函數(shù)值即可，
（2）再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率得切線方程．最后利用切線l交x軸于 B(

1

2

，0)可使問題切點A的切線l的方程解決．
（3）欲求平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積，先將其化為：V=π

∫

0 1

x4dx-π

∫

1 2 1

(2x-1)2  dx，最后利用不定積分求其體積即可．

解答：解：（1）設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，a²），過點A的切線的斜率為k=y'|_x=a=2a，
故過點A的切線l的方程為y-a²=2a（x-a），
即y=2ax-a²，令y=0，得x=

a

2

，
則S△ABC=

1

2

•

a

2

•a2=

a3

4

，S△ABO=

∫

a 0

x2dx=

x3

3

|

a 0

=

a3

3

，
∴S=S△ABO=S△ABC=

a3

12

=

1

12

∴a=1
或解：S=

∫

a2 0

[

1

2

a+

y

2a

-

y

]dy=(

1

2

ay+

y2

4a

-

2

3

y

3

2

)

.

a2 0

=

1

12

a3=

1

12

，
∴a=1
∴切點A的坐標(biāo)為（1，1）（2）直線方程為y=2x-1
（3）l與x軸的交點為(

1

2

，0)，
故V=π

∫

1 0

x4dx-π

∫

1 1 2

(2x-1)2dx=

1

5

πx5

.

1 0

-

1

6

π(2x-1)3

.

1 1 2

=

1

30

π

點評：本小題主要考查函定積分的簡單應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、直線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．