Question

【題目】若橢圓 + =1的焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)（1， ）作圓x2+y2=1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：設(shè)過點(diǎn)（1， ）的圓x2+y2=1的切線為l：y﹣ =k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+ =0 ①當(dāng)直線l與x軸垂直時，k不存在，直線方程為x=1，恰好與圓x2+y2=1相切于點(diǎn)A（1，0）；
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時，原點(diǎn)到直線l的距離為：d= =1，解之得k=﹣ ，
此時直線l的方程為y=﹣ x+ ，l切圓x2+y2=1相切于點(diǎn)B（ ， ）；
因此，直線AB斜率為k1= =﹣2，直線AB方程為y=﹣2（x﹣1）
∴直線AB交x軸交于點(diǎn)A（1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，2）．
橢圓 + =1的右焦點(diǎn)為（1，0），上頂點(diǎn)為（0，2）
∴c=1，b=2，可得a2=b2+c2=5，橢圓方程為
所以答案是： ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．