Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（a﹣ ）x2+lnx（a為實數(shù)）．
（1）當a=0時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[ ，e]上的最大值和最小值；
（2）若對任意的x∈（1，+∞），g（x）=f（x）﹣2ax＜0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=0時，函數(shù)f（x）=﹣ ，（x＞0）

f′（x）=﹣x+ = ，（x＞0），令f′（x）=0，得x=1，（負值舍去）

∴x＞0，x、f′（x），f（x）的變化如下：

x	（ ，1）	1	（1，e）
f′（x）	+	0
f（x）	↑	極大值	↓

∴f（x）在（ ，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，

f（x）最大值為f（1）= ．

∵ ，∴f（x）最小值為f（e）=1﹣

（2）解：g（x）=f（x）﹣2ax=（a﹣ ）x2+lnx﹣2ax，g（x）的定義域為（0，+∞），

①若a ，令g′（x）=0，得極值x1=1，x2= ，

當x1＜x2，即 時，在（0，1）上有g(shù)′（x）＞0，

在（1，x2）上有g(shù)′（x）＜0，

在（x2，+∞）上有g(shù)′（x）＞0，此時g（x）在區(qū)間（x2，+∞）上是增函數(shù)，

并且在該區(qū)間上有g(shù)（x）∈（g（x2），+∞）不合題意；

當x2≤x1，即a≥1時，同理可知，g（x）在區(qū)間（1，+∞）上，

有g(shù)（x）∈（g（1），+∞），也不合題意；

②若a≤ ，則有x1＞x2，此時在區(qū)間（1，+∞）上恒有g(shù)′（x）＜0，

從而g（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；

要使g（x）＜0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足g（1）=﹣a﹣ ≤0，得a≥﹣

由此求得a的范圍是[﹣ ， ]

綜合①②可知實數(shù)a的取值范圍是[﹣ ， ]

【解析】（1）求出導數(shù)，由此能求出f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞））上單調(diào)遞減．f（x）在（ ，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，由此能求出f（x）在區(qū)間[ ，e]上的最大值和最小值．（2）求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，討論①若a ，②若a≤ ，求得單調(diào)區(qū)間，可得g（x）的范圍，由恒成立思想，進而得到a的范圍．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．