Question

（2013•牡丹江一模）如圖所示，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，以坐標原點O為圓心，|OF₁|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點分別為A，B，且△F₂AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A．

  2

  +1
• B．

  3

  +1
• C．

  2 +1

  2

• D．

  3 +1

  2

Answer 1

分析：連接AF₁，可得∠AF₂F₁=30°，∠F₁AF₂=90°，F(xiàn)₂F₁=2c，AF₁=c，AF₂=

3

c，由雙曲線的定義可知：AF₂-AF₁=

3

c-c=2a，變形可得離心率

c

a

的值．

解答：解：連接AF₁，可得∠AF₂F₁=30°，∠F₁AF₂=90°，
由焦距的意義可知F₂F₁=2c，AF₁=c，
由勾股定理可知AF₂=

3

c，
由雙曲線的定義可知：AF₂-AF₁=2a，即

3

c-c=2a，
變形可得雙曲線的離心率

c

a

=

2

3 -1

=

3

+1
故選B

點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)，涉及直角三角形的性質(zhì)，屬中檔題．