Question

命題p：滿足關(guān)于x的不等式2x²-9x+a＜0（解集非空）的每一個(gè)x的值至少滿足不等式x²-4x+3＜0和x²-6x+8＜0中的一個(gè)；命題q：函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域?yàn)镽．
（1）求命題p成立時(shí)a的取值范圍；
（2））如果“p∧q”為假，“p∨q”為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知可得不等式2x²-9x+a＜0的解集為A與不等式x²-4x+3＜0解集為B和不等式x²-6x+8＜0解集為C滿足，A⊆B∪C，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及集合之間包含關(guān)系的定義，可構(gòu)造不等式組，進(jìn)而求出命題p成立時(shí)a的取值范圍；
（2）根據(jù)“p∧q”為假，“p∨q”為真，結(jié)合復(fù)合命題真值表可得p，q為一真一假，分類討論后可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)不等式2x²-9x+a＜0的解集為A（非空）
不等式x²-4x+3＜0解集為B=（1，3）
不等式x²-6x+8＜0解集為C=（2，4）
則B∪C=（1，4）
∵關(guān)于x的不等式2x²-9x+a＜0（解集非空）的每一個(gè)x的值至少滿足不等式x²-4x+3＜0和x²-6x+8＜0中的一個(gè)
∴A⊆B∪C
∴

△=81-8a＞0 1＜ 9 4 ＜4 f(1)=a-7＞0 f(4)=a-4＞0

解得7＜a＜

81

8

即命題p成立時(shí)a的取值范圍為（7，

81

8

）
（2）若命題q：函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域?yàn)镽為真，則

a＞0 △=1-4a2＜0

，解得a＞

1

2

又∵“p∧q”為假，“p∨q”為真，
∴p，q為一真一假
當(dāng)p真q假時(shí)，

7＜a＜ 81 8 a≤ 1 2

，此時(shí)無(wú)滿足條件的a值；

當(dāng)p假q真時(shí)，

a≤7，或a≥ 81 8 a＞ 1 2

，解得

1

2

＜a≤7，或a≥

81

8

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

1

2

，7]∪[

81

8

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題以復(fù)合函數(shù)的真假為載體考查了不等式的解法及集合關(guān)系的判斷，其中解答二次不等式是解答本題的關(guān)鍵．