Question

已知正弦函數(shù)y=sinx具有如下性質(zhì)：若x₁，x₂，…x_n∈（0，π），則

sinx1+sinx2+…+sinxn

n

≤sin（

x1+x2+…+xn

n

）（其中當(dāng) x₁=x₂=…=x_n時(shí)等號(hào)成立）．根據(jù)上述結(jié)論可知，在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為

3 3

2

．

Answer 1

分析：利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得：

sinA+sinB+sinC

3

≤sin

A+B+C

3

，變形得 sinA+sinB+sinC≤3sin

π

3

利用特殊三角函數(shù)值求得問(wèn)題答案．

解答：解：∵已知正弦函數(shù)y=sinx具有如下性質(zhì)：若x₁，x₂，…x_n∈（0，π），則

sinx1+sinx2+…+sinxn

n

≤sin（

x1+x2+…+xn

n

），
且A、B、C∈（0，π），
∴

sinA+sinB+sinC

3

≤sin

A+B+C

3

，
即sinA+sinB+sinC≤3sin

π

3

=

3 3

2

，
所以sinA+sinB+sinC的最大值為

3 3

2

．
故答案為：

3 3

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的最值問(wèn)題．考查了考生運(yùn)用所給條件分析問(wèn)題的能力和創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力．