Question

【題目】已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，若；是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線，的斜率乘積為定值，若存在，求出定點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；定點(diǎn)或

【解析】

（1）根據(jù)已知可得，即可求出橢圓的方程；

（2）假設(shè)滿足條件的定點(diǎn)存在，設(shè)為，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，得到關(guān)系，再由，利用關(guān)系，化簡(jiǎn)為關(guān)系式，利用其為定值則不含項(xiàng)，進(jìn)而得到關(guān)于的方程，求解即可.

（1）因?yàn)?/span>是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

所以，解得，，所以

所以橢圓的方程為.

（2）依題意直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，

，

由整理得

當(dāng)時(shí)，得，

設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，則

.

由得，，

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)；

故存在滿足題意的定點(diǎn)或.