Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-

ax2

2

+(a-1)x-

3

2a

，其中a＞-1且a≠0．
（Ⅰ） 當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ） 若函數(shù)f（x）有兩個(gè)相異的零點(diǎn)x₁，x₂．
（i） 求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（ii） 求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析：（I）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），由a＞0，x＞0，得-ax-1＜0，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）（i）令f′（x）=0，求出函數(shù)的臨界點(diǎn)，再對(duì)a進(jìn)行分類討論，結(jié)合（I）的結(jié)果判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行得出函數(shù)的極值，根據(jù)單調(diào)性和題意確定極值的符號(hào)，分別求出a的范圍，最后要求它們的并集；
（ii）先證明下列不等式：當(dāng)a＞3時(shí)，對(duì)任意的x∈（0，1），f（2-x）＞f（x）令g（x）=f（2-x）-f（x），g′(x)=

-2(x-1)2

x(2-x)

＜0，則g（x）在（0，1]單調(diào)遞減，由此及彼入手，能夠證明x₁+x₂＞2．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

(x-1)(-ax-1)

x

由于a＞0，x＞0，得-ax-1＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為[1，+∞）．
（Ⅱ）f′(x)=

(x-1)(-ax-1)

x

，x＞0，令f′（x）=0，解得x=1，或x =-

1

a

，
（i）當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，1]單調(diào)遞增，[1，+∞）單調(diào)遞減．
∴f（1）＞0，即f(1)=

(a-3)(a+1)

2a

＞0，∴a＞3
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，-

1

a

＞1，
∴f（x）在（0，1]單調(diào)遞增，在[1，-

1

a

]單調(diào)遞減，在[-

1

a

，+∞)單調(diào)遞增，
要使的f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)相異零點(diǎn)，
則f(-

1

a

)=0，此時(shí)方程無解．                         
綜上所得，實(shí)數(shù)a的范圍為（3，+∞）
（ii）先證明下列不等式：當(dāng)a＞3時(shí)，對(duì)任意的x∈（0，1），f（2-x）＞f（x）
令g（x）=f（2-x）-f（x），g′(x)=

-2(x-1)2

x(2-x)

＜0，
則g（x）在（0，1]單調(diào)遞減，
又∵g（1）=0，∴g（x）＞g（1）=0，
即對(duì)任意的x∈（0，1），f（2-x）＞f（x）
由（i）得函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂（不妨設(shè)x₁＜x₂），滿足0＜x₁＜1＜x₂，
故0=f（x₂）=f（x₁）＜f（2-x₁）
由于x₂＞1，2-x₁＞1，又由（i）得f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，從而x₂＞2-x₁
即x₁+x₂＞2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、零點(diǎn)以及不等式的問題，主要是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查計(jì)算能力和分析問題的能力，以及分類討論思想．