Question

 (本小題滿分15分)

已知定點(diǎn)A、B間的距離為2，以B為圓心作半徑為2的圓，P為圓上一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l與直線PB交于點(diǎn)M，當(dāng)P在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡記為曲線C．

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線C的方程，并說明它是什么樣的曲線；

(2)試判斷l(xiāng)與曲線C的位置關(guān)系，并加以證明．

                    

Answer 1

解 (1)以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－1,0)，B(1,0).                                    

設(shè)M(x, y),由題意：|MP|=|MA|,  |BP|=2，所以 |MB|+|MA|=2.

故曲線C是以A、B為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓，其方程為x2+2y2=2.            

(2)直線l與曲線C的位置關(guān)系是相切.

證法一：由(1)知曲線C方程為x2+2y2=2，

設(shè)P(m, n)，則P在⊙B上，故(m－1)2+n2=8，  即m2+n2=7+2m.                   

當(dāng)P、A、B共線時(shí)，直線l的方程為x=±，顯然結(jié)論成立. 

當(dāng)P、A、B不共線時(shí)，直線l的方程為：,整理得，                           

把直線l的方程代入曲線C方程得：，

整理得  

 ∴直線l與曲線C相切.(說明：以A或B為原點(diǎn)建系亦可)

證法二：在直線l上任取一點(diǎn)，連結(jié)，由垂直平分線的性質(zhì)得，                   

∴ (當(dāng)且僅當(dāng)M、重合時(shí)取“=”號(hào))

∴直線l與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)M.　　　　　　　　　　結(jié)論得證