Question

某個(gè)體經(jīng)營(yíng)者把開(kāi)始6個(gè)月試銷A，B兩種商品的逐月投資金額與所獲純利潤(rùn)列成下表：

投資A種商品金額（萬(wàn)元）	1	2	3	4	5	6
獲純利潤(rùn)（萬(wàn)元）	0.65	1.39	1.85	2	1.84	1.4
投資B種商品金額（萬(wàn)元）	1	2	3	4	5	6
獲純利潤(rùn)（萬(wàn)元）	0.25	0.49	0.76	1	1.26	1.51

該經(jīng)營(yíng)者準(zhǔn)備第7個(gè)月投入12萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種商品，但不知投入A，B兩種商品各多少萬(wàn)元才合算．請(qǐng)你幫助制定一個(gè)資金投入方案，使得該經(jīng)營(yíng)者能獲得最大純利潤(rùn)，并按你的方案求出該經(jīng)營(yíng)者第7個(gè)月可獲得的最大純利潤(rùn)（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）．

Answer 1

分析：根據(jù)表格數(shù)據(jù)，畫(huà)出散點(diǎn)圖，從而求出函數(shù)模型，再設(shè)第7個(gè)月投入A，B兩種商品的資金分別為x_A萬(wàn)元，x_B萬(wàn)元，總利潤(rùn)為ω萬(wàn)元，求出利潤(rùn)函數(shù)，利用配方法，即可得到結(jié)論．

解答：解：以投資額為橫坐標(biāo)，純利潤(rùn)為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖，如下圖所示．

觀察散點(diǎn)圖可以看出，A種商品所獲純利潤(rùn)y與投資額x之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)模型進(jìn)行模擬．
由于（4，2）為最高點(diǎn)，則可設(shè)y=a（x-4）²+2，再把點(diǎn)（1，0.65）代入，得0.65=a（1-4）²+2，
解得a=-0.15，所以y=-0.15（x-4）²+2．
B種商品所獲純利潤(rùn)y與投資額x之間的變化規(guī)律是純性的，可以用一次函數(shù)模型進(jìn)行模擬．
設(shè)y=kx+b，取點(diǎn)（1，0.25）和（4，1）代入，
得

0.25=k+b 1=4k+b

，解得

k=0.25 b=0

所以y=0.25x．
設(shè)第7個(gè)月投入A，B兩種商品的資金分別為x_A萬(wàn)元，x_B萬(wàn)元，總利潤(rùn)為ω萬(wàn)元，那么

xA+xB=12 ω=yA+yB=-0.15(xA-4)2+2+0.25xB

所以ω=-0.15（x_A-4）²+2+0.25（12-x_A）=-0.15x

2 A

+0.95x_A+2.6
=-0.15（x_A-

19

6

）²+0.15•（

19

6

）²+2.6．
當(dāng)x_A=

19

6

≈3.2（萬(wàn)元）時(shí)，ω取最大值，約為4.1萬(wàn)元，此時(shí)x_B=8.8（萬(wàn)元）．
即該經(jīng)營(yíng)者下月把12萬(wàn)元中的3.2萬(wàn)元投資A種商品，8.8萬(wàn)元投資B種商品，可獲得最大利潤(rùn)約為4.1萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇與運(yùn)用，考查配方法的運(yùn)用．根據(jù)已知數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型的方法：①畫(huà)出散點(diǎn)圖；②根據(jù)點(diǎn)的分布特征選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型；③用待定系數(shù)法求函數(shù)模型．