Question

（1）（用綜合法證明） 若a＞0，b＞0，求證：
（2）（用反證法證明） 已知x，y∈R⁺，且x+y＞2，求證：與中至少有一個小于2．

Answer 1

解：（1）證明：∵a＞0，b＞0，
∴，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取“=”號）…（2分）
∴，∴． …（6分）
（2）假設(shè)：與 都大于或等于2，
∵x，y∈R^*，∴，
∴2+x+y≥2x+2y，∴x+y≤2，這與x+y＞2矛盾，…（11分）
∴假設(shè)不成立．
所以，與中至少有一個小于2． …（12分）
分析：（1）根據(jù)a＞0，b＞0，可得，同理可證，相乘即得所證．
（2）假設(shè)與 都大于或等于2，可得 ，從而推出x+y≤2，這與x+y＞2矛盾，故假設(shè)不成立，
命題得證．
點評：本題考查用綜合法法和反證法證明不等式，用反證法證明數(shù)學(xué)命題時，推出矛盾，是解題的關(guān)鍵和難點，屬于中檔題．