Question

已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+

3

sinωxsin(ωx+

π

2

)(ω＞0)的最小正周期為π
（1）求f（x）；
（2）當(dāng)x∈[-

π

12

，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式進行化簡整理，然后利用正弦函數(shù)的最小正周期求得ω，則函數(shù)解析式可得．
（2）根據(jù)x的范圍可確定2x-

π

6

的范圍，進而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大值和最小值，則函數(shù)的值域可得．

解答：解：（1）f(x)=

1-cos2ωx

2

+

3

sinωxcosωx=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)+

1

2

．
∵函數(shù)f（x）的最小正周期為π，且ω＞0，
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1．
∴f(x)=sin(2x-

π

6

)+

1

2

．
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]．
根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可得：
當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，g(x)=sin(2x-

π

6

)取最大值1
當(dāng)2x-

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

12

時g(x)=sin(2x-

π

6

)取最小值-

3

2

．
∴

1

2

-

3

2

≤sin(2x-

π

6

)+

1

2

≤

3

2

，即f（x）的值域為[

1- 3

2

，

3

2

]．

點評：本題主要考查了二倍角公式，兩角和公式，正函數(shù)的周期性，單調(diào)性等問題．考查了學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際的能力．