Question

如圖，已知過點(diǎn)D（-2，0）的直線l與橢圓+y²=1交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)M是弦AB的中點(diǎn)
（Ⅰ）若=+，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）求||的取值范圍

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當(dāng)直線與x軸平行時(shí)，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；設(shè)出直線l的方程及A，B，M，P的坐標(biāo)，橢圓方程聯(lián)立消去x，根據(jù)判別式大于0求得m的范圍，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理表示出y=y₁+y₂和x=x₁+x₂，進(jìn)而聯(lián)立消去m，即可求得P點(diǎn)的軌跡方程．
（Ⅱ）先看當(dāng)l∥x軸時(shí)，A，B分別是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，則點(diǎn)M在原點(diǎn)O處，求得|MD|，|MA|進(jìn)而求得||的值；再看與x軸不平行時(shí)，根據(jù)弦長公式求得|MD|和|MA|的表達(dá)式，進(jìn)而求得||的表達(dá)式，根據(jù)m的范圍確定||的取值范圍，最后綜合可得答案．
解答：解：（Ⅰ）①若直線l∥x軸，則點(diǎn)P為（0，0）；
②設(shè)直線l：x=my-2，
并設(shè)點(diǎn)A，B，M，P的坐標(biāo)分別是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），P（x，y），
由消去x，得（m²+2）y²-4my+2=0，①
由直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得△=（-4m）²-8（m²+2）＞0，即8（m²-2）＞0，所以m²＞2
由=+及方程①，得y=y₁+y₂=，
x=x₁+x₂=（my₁-2）+（my₂-2）=-，
即
由于m≠0（否則，直線l與橢圓無公共點(diǎn)），
將上方程組兩式相除得，m=-，代入到方程x=-，
得x=-，整理，得x²+2y²+4x=0（-2＜x＜0）
綜上所述，點(diǎn)P的軌跡方程為x²+2y²+4x=0（-2＜x＜0）

（Ⅱ）①當(dāng)l∥x軸時(shí)，A，B分別是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，則點(diǎn)M在原點(diǎn)O處，
所以，|MD|=2，|MA|=，所以，=
②由方程①，得y==，
|MD|=|y-y_D|=
|MA|=|=|y-y₁|==|=
==
m²＞2，-∈（1，0），∈（0，1），∈[，+∞）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題．常需要把直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理找打解決問題的突破扣．